Resolver {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{5}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-y=5$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$5x=y+5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

Substitúe x por \frac{y}{5}+1 na outra ecuación, -\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

Multiplica -\frac{1}{5} por \frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

Suma -\frac{y}{25} a y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

Suma \frac{1}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{24}{25}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{5}{24}$$

Substitúe y por \frac{5}{24} en x=\frac{1}{5}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

Multiplica \frac{1}{5} por \frac{5}{24} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

Suma 1 a \frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{5}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{5}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Para que 5x e -\frac{x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -\frac{1}{5} e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

Simplifica.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

Resta -x+5y=0 de -x+\frac{1}{5}y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Suma \frac{y}{5} a -5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{24}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{5}{24}$$

Substitúe y por \frac{5}{24} en -\frac{1}{5}x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

Resta \frac{5}{24} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

Multiplica ambos lados por -5.

$$x=\frac{25}{24}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$