Resolver {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-y=110$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$5x=y+110$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por y+110.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

Substitúe x por \frac{y}{5}+22 na outra ecuación, -x+9y=110.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

Multiplica -1 por \frac{y}{5}+22.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

Suma -\frac{y}{5} a 9y.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

Suma 22 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{44}{5}y=132$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{44}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x=\frac{1}{5}y+22. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

Multiplica \frac{1}{5} por 15.

$$x=3+22$$

Suma 22 a 3.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25,y=15$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=25,y=15$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Para que 5x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

Simplifica.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

Resta -5x+45y=550 de -5x+y=-110 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-45y=-110-550$$

Suma y a -45y.

$$-44y=-110-550$$

Suma -110 a -550.

$$-44y=-660$$

Divide ambos lados entre -44.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en -x+9y=110. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+9\times 15=110$$

Multiplica 9 por 15.

$$-x+135=110$$

Resta 135 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-25$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25,y=15$$