Resolver {l}{5x-6y=-3}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 3 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-6y=-3$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=6y-3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 6y-3.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{6y-3}{5} na outra ecuación, 5x-3y=3.

$$5\left(\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)-3y=3$$

Multiplica 5 por \frac{6y-3}{5}.

$$6y-3-3y=3$$

Suma 6y a -3y.

$$3y-3=3$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3y=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

Multiplica \frac{6}{5} por 2.

$$x=\frac{12-3}{5}$$

Suma -\frac{3}{5} a \frac{12}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{2}{5}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Resta 5x-3y=3 de 5x-6y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-6y+3y=-3-3$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+3y=-3-3$$

Suma -6y a 3y.

$$-3y=-3-3$$

Suma -3 a -3.

$$-3y=-6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 5x-3y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-3\times 2=3$$

Multiplica -3 por 2.

$$5x-6=3$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$5x=9$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$