Resolver {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 19y en ambos lados.

$$5x-4y-19y=0$$

Combina -4y e -19y para obter -23y.

$$5x-23y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-23y=0$$

Suma 23y en ambos lados da ecuación.

$$5x=23y$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

Multiplica \frac{1}{5} por 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

Substitúe x por \frac{23y}{5} na outra ecuación, 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

Multiplica 5 por \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

Suma 23y a 2y.

$$25y=71$$

Divide ambos lados entre 25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Substitúe y por \frac{71}{25} en x=\frac{23}{5}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Multiplica \frac{23}{5} por \frac{71}{25} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1633}{125}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 19y en ambos lados.

$$5x-4y-19y=0$$

Combina -4y e -19y para obter -23y.

$$5x-23y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 19y en ambos lados.

$$5x-4y-19y=0$$

Combina -4y e -19y para obter -23y.

$$5x-23y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Resta 5x+2y=71 de 5x-23y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-23y-2y=-71$$

Suma -23y a -2y.

$$-25y=-71$$

Divide ambos lados entre -25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Substitúe y por \frac{71}{25} en 5x+2y=71. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

Multiplica 2 por \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Resta \frac{142}{25} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1633}{125}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$