Resolver {l}{5x-4y=19}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-4y=19,3x+2y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-4y=19$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$5x=4y+19$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 4y+19.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Substitúe x por \frac{4y+19}{5} na outra ecuación, 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}\right)+2y=7$$

Multiplica 3 por \frac{4y+19}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{57}{5}+2y=7$$

Suma \frac{12y}{5} a 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{57}{5}=7$$

Resta \frac{57}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{22}{5}y=-\frac{22}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{22}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{5}\left(-1\right)+\frac{19}{5}$$

Multiplica \frac{4}{5} por -1.

$$x=\frac{-4+19}{5}$$

Suma \frac{19}{5} a -\frac{4}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-4y=19,3x+2y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 19+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-4y=19,3x+2y=7$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 19,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Simplifica.

$$15x-12y=57,15x+10y=35$$

Resta 15x+10y=35 de 15x-12y=57 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-12y-10y=57-35$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-10y=57-35$$

Suma -12y a -10y.

$$-22y=57-35$$

Suma 57 a -35.

$$-22y=22$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 3x+2y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\left(-1\right)=7$$

Multiplica 2 por -1.

$$3x-2=7$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$