Resolver {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-4y=-3$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$5x=4y-3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 4y-3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{4y-3}{5} na outra ecuación, 3x-4y=-13.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

Multiplica 3 por \frac{4y-3}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

Suma \frac{12y}{5} a -4y.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

Suma \frac{9}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

Multiplica \frac{4}{5} por 7.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

Suma -\frac{3}{5} a \frac{28}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Resta 3x-4y=-13 de 5x-4y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

Suma -4y a 4y. -4y e 4y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x-3x=-3+13$$

Suma 5x a -3x.

$$2x=-3+13$$

Suma -3 a 13.

$$2x=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en 3x-4y=-13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\times 5-4y=-13$$

Multiplica 3 por 5.

$$15-4y=-13$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-28$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=7$$