Resolver {l}{5x-3y=6}{4x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 6 } \\ { 4 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{21}{22}\approx 0.954545455$$

$$y=-\frac{9}{22}\approx -0.409090909$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=6$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+6$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 6+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Substitúe x por \frac{6+3y}{5} na outra ecuación, 4x+2y=3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=3$$

Multiplica 4 por \frac{6+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{24}{5}+2y=3$$

Suma \frac{12y}{5} a 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{24}{5}=3$$

Resta \frac{24}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{22}{5}y=-\frac{9}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{22}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{9}{22}$$

Substitúe y por -\frac{9}{22} en x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{9}{22}\right)+\frac{6}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por -\frac{9}{22} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{27}{110}+\frac{6}{5}$$

Suma \frac{6}{5} a -\frac{27}{110} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{21}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{22}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 6+\frac{5}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{22}\\-\frac{9}{22}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Para que 5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 6,5\times 4x+5\times 2y=5\times 3$$

Simplifica.

$$20x-12y=24,20x+10y=15$$

Resta 20x+10y=15 de 20x-12y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-12y-10y=24-15$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-10y=24-15$$

Suma -12y a -10y.

$$-22y=24-15$$

Suma 24 a -15.

$$-22y=9$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=-\frac{9}{22}$$

Substitúe y por -\frac{9}{22} en 4x+2y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+2\left(-\frac{9}{22}\right)=3$$

Multiplica 2 por -\frac{9}{22}.

$$4x-\frac{9}{11}=3$$

Suma \frac{9}{11} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{42}{11}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{21}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$