Resolver {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=28$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+28$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3y+28.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+28}{5} na outra ecuación, 12x+4y=0.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

Multiplica 12 por \frac{3y+28}{5}.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

Suma \frac{36y}{5} a 4y.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

Resta \frac{336}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{56}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por -6.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

Suma \frac{28}{5} a -\frac{18}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Para que 5x e 12x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 12 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

Simplifica.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

Resta 60x+20y=0 de 60x-36y=336 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

Suma 60x a -60x. 60x e -60x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-36y-20y=336$$

Suma -36y a -20y.

$$-56y=336$$

Divide ambos lados entre -56.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en 12x+4y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

Multiplica 4 por -6.

$$12x-24=0$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$12x=24$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-6$$