Resolver {l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=13$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+13$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3y+13.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+13}{5} na outra ecuación, -9x-2y=-2.

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

Multiplica -9 por \frac{3y+13}{5}.

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

Suma -\frac{27y}{5} a -2y.

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

Suma \frac{117}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{37}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{107}{37}$$

Substitúe y por -\frac{107}{37} en x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por -\frac{107}{37} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

Suma \frac{13}{5} a -\frac{321}{185} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{32}{37}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Para que 5x e -9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

Resta -45x-10y=-10 de -45x+27y=-117 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

Suma -45x a 45x. -45x e 45x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$27y+10y=-117+10$$

Suma 27y a 10y.

$$37y=-117+10$$

Suma -117 a 10.

$$37y=-107$$

Divide ambos lados entre 37.

$$y=-\frac{107}{37}$$

Substitúe y por -\frac{107}{37} en -9x-2y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

Multiplica -2 por -\frac{107}{37}.

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

Resta \frac{214}{37} en ambos lados da ecuación.

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=\frac{32}{37}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$