Resolver {l}{5x-3y=12}{x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 12 } \\ { x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=12$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+12$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 12+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}$$

Substitúe x por \frac{12+3y}{5} na outra ecuación, x-2y=1.

$$\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}-2y=1$$

Suma \frac{3y}{5} a -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{12}{5}=1$$

Resta \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{7}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Suma \frac{12}{5} a \frac{3}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12-\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}\times 12-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x-3y=12,5x+5\left(-2\right)y=5$$

Simplifica.

$$5x-3y=12,5x-10y=5$$

Resta 5x-10y=5 de 5x-3y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-3y+10y=12-5$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+10y=12-5$$

Suma -3y a 10y.

$$7y=12-5$$

Suma 12 a -5.

$$7y=7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x-2y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2=1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$