Resolver {l}{5x-2y=7}{2x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 7 } \\ { 2 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-2y=7$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=2y+7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 2y+7.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}$$

Substitúe x por \frac{2y+7}{5} na outra ecuación, 2x+7y=-5.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=-5$$

Multiplica 2 por \frac{2y+7}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{14}{5}+7y=-5$$

Suma \frac{4y}{5} a 7y.

$$\frac{39}{5}y+\frac{14}{5}=-5$$

Resta \frac{14}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{39}{5}y=-\frac{39}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{39}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{7}{5}$$

Multiplica \frac{2}{5} por -1.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

Suma \frac{7}{5} a -\frac{2}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}&\frac{2}{39}\\-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}\times 7+\frac{2}{39}\left(-5\right)\\-\frac{2}{39}\times 7+\frac{5}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 7,5\times 2x+5\times 7y=5\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$10x-4y=14,10x+35y=-25$$

Resta 10x+35y=-25 de 10x-4y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-4y-35y=14+25$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-35y=14+25$$

Suma -4y a -35y.

$$-39y=14+25$$

Suma 14 a 25.

$$-39y=39$$

Divide ambos lados entre -39.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 2x+7y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+7\left(-1\right)=-5$$

Multiplica 7 por -1.

$$2x-7=-5$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$