Resolver {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-2y=14$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=2y+14$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 14+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

Substitúe x por \frac{14+2y}{5} na outra ecuación, 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

Multiplica 3 por \frac{14+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

Suma \frac{6y}{5} a 7y.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

Resta \frac{42}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{41}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{63}{41}$$

Substitúe y por \frac{63}{41} en x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

Multiplica \frac{2}{5} por \frac{63}{41} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

Suma \frac{14}{5} a \frac{126}{205} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{140}{41}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

Simplifica.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

Resta 15x+35y=105 de 15x-6y=42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-35y=42-105$$

Suma -6y a -35y.

$$-41y=42-105$$

Suma 42 a -105.

$$-41y=-63$$

Divide ambos lados entre -41.

$$y=\frac{63}{41}$$

Substitúe y por \frac{63}{41} en 3x+7y=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

Multiplica 7 por \frac{63}{41}.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

Resta \frac{441}{41} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{420}{41}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{140}{41}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$