Resolver {l}{5x+y=7}{3x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { 3 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=7,3x-y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=7$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+7.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y+7}{5} na outra ecuación, 3x-y=1.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)-y=1$$

Multiplica 3 por \frac{-y+7}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{21}{5}-y=1$$

Suma -\frac{3y}{5} a -y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{21}{5}=1$$

Resta \frac{21}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por 2.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

Suma \frac{7}{5} a -\frac{2}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=7,3x-y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{5\left(-1\right)-3}&\frac{5}{5\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=7,3x-y=1$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3y=3\times 7,5\times 3x+5\left(-1\right)y=5$$

Simplifica.

$$15x+3y=21,15x-5y=5$$

Resta 15x-5y=5 de 15x+3y=21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+3y+5y=21-5$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+5y=21-5$$

Suma 3y a 5y.

$$8y=21-5$$

Suma 21 a -5.

$$8y=16$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 3x-y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2=1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$