Resolver {l}{5x+y=39}{3x+4y=54}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=39$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+39$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+39.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y+39}{5} na outra ecuación, 3x+4y=54.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

Multiplica 3 por \frac{-y+39}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

Suma -\frac{3y}{5} a 4y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

Resta \frac{117}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{17}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por 9.

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

Suma \frac{39}{5} a -\frac{9}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

Simplifica.

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

Resta 15x+20y=270 de 15x+3y=117 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-20y=117-270$$

Suma 3y a -20y.

$$-17y=117-270$$

Suma 117 a -270.

$$-17y=-153$$

Divide ambos lados entre -17.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en 3x+4y=54. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\times 9=54$$

Multiplica 4 por 9.

$$3x+36=54$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$3x=18$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=9$$