Resolver {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=35$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+35$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

Substitúe x por -\frac{y}{5}+7 na outra ecuación, 7x+1,1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1,1y=40$$

Multiplica 7 por -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1,1y=40$$

Suma -\frac{7y}{5} a \frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

Resta 49 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x=-\frac{1}{5}y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

Multiplica -\frac{1}{5} por 30.

$$x=-6+7$$

Suma 7 a -6.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1;y=30$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1,1}{5\times 1,1-7}&-\frac{1}{5\times 1,1-7}\\-\frac{7}{5\times 1,1-7}&\frac{5}{5\times 1,1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1;y=30$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Para que 5x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$7\times 5x+7y=7\times 35;5\times 7x+5\times 1,1y=5\times 40$$

Simplifica.

$$35x+7y=245;35x+5,5y=200$$

Resta 35x+5,5y=200 de 35x+7y=245 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$35x-35x+7y-5,5y=245-200$$

Suma 35x a -35x. 35x e -35x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7y-5,5y=245-200$$

Suma 7y a -\frac{11y}{2}.

$$1,5y=245-200$$

Suma 245 a -200.

$$1,5y=45$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1,5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en 7x+1,1y=40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+1,1\times 30=40$$

Multiplica 1,1 por 30.

$$7x+33=40$$

Resta 33 en ambos lados da ecuación.

$$7x=7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1;y=30$$