Resolver {l}{5x+y=1}{3x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 1 } \\ { 3 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y+1}{5} na outra ecuación, 3x+y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)+y=-1$$

Multiplica 3 por \frac{-y+1}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{3}{5}+y=-1$$

Suma -\frac{3y}{5} a y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}=-1$$

Resta \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{5}y=-\frac{8}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -4.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Suma \frac{1}{5} a \frac{4}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{1}{5-3}\\-\frac{3}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(-1\right)\\-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

Resta 3x+y=-1 de 5x+y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-3x+y-y=1+1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x-3x=1+1$$

Suma 5x a -3x.

$$2x=1+1$$

Suma 1 a 1.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en 3x+y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3+y=-1$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-4$$