Resolver {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Para calcular o oposto de 2x+4y, calcula o oposto de cada termo.

$$1020=2060-2x-4y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2060-2x-4y=1020$$

Resta 2060 en ambos lados.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Resta 2060 de 1020 para obter -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+7y=2060$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-7y+2060$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -7y+2060.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

Substitúe x por -\frac{7y}{5}+412 na outra ecuación, -2x-4y=-1040.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

Multiplica -2 por -\frac{7y}{5}+412.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

Suma \frac{14y}{5} a -4y.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

Suma 824 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{6}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=180$$

Substitúe y por 180 en x=-\frac{7}{5}y+412. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

Multiplica -\frac{7}{5} por 180.

$$x=-252+412$$

Suma 412 a -252.

$$x=160$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=160,y=180$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Para calcular o oposto de 2x+4y, calcula o oposto de cada termo.

$$1020=2060-2x-4y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2060-2x-4y=1020$$

Resta 2060 en ambos lados.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Resta 2060 de 1020 para obter -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=160,y=180$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Para calcular o oposto de 2x+4y, calcula o oposto de cada termo.

$$1020=2060-2x-4y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2060-2x-4y=1020$$

Resta 2060 en ambos lados.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Resta 2060 de 1020 para obter -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Para que 5x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

Simplifica.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

Resta -10x-20y=-5200 de -10x-14y=-4120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

Suma -10x a 10x. -10x e 10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

Suma -14y a 20y.

$$6y=-4120+5200$$

Suma -4120 a 5200.

$$6y=1080$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=180$$

Substitúe y por 180 en -2x-4y=-1040. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

Multiplica -4 por 180.

$$-2x-720=-1040$$

Suma 720 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-320$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=160$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=160,y=180$$