\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.
Resolver x, y
x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333
y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333
Gráfico
Compartir
Copiado a portapapeis
5x+5y=15,4x+10y=-2
Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.
5x+5y=15
Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.
5x=-5y+15
Resta 5y en ambos lados da ecuación.
x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)
Divide ambos lados entre 5.
x=-y+3
Multiplica \frac{1}{5} por -5y+15.
4\left(-y+3\right)+10y=-2
Substitúe x por -y+3 na outra ecuación, 4x+10y=-2.
-4y+12+10y=-2
Multiplica 4 por -y+3.
6y+12=-2
Suma -4y a 10y.
6y=-14
Resta 12 en ambos lados da ecuación.
y=-\frac{7}{3}
Divide ambos lados entre 6.
x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3
Substitúe y por -\frac{7}{3} en x=-y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
x=\frac{7}{3}+3
Multiplica -1 por -\frac{7}{3}.
x=\frac{16}{3}
Suma 3 a \frac{7}{3}.
x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}
O sistema xa funciona correctamente.
5x+5y=15,4x+10y=-2
Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.
\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)
Escribe as ecuacións en forma matricial.
inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)
Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)
O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)
A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}
Extrae os elementos da matriz x e y.
5x+5y=15,4x+10y=-2
Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.
4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)
Para que 5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.
20x+20y=60,20x+50y=-10
Simplifica.
20x-20x+20y-50y=60+10
Resta 20x+50y=-10 de 20x+20y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.
20y-50y=60+10
Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.
-30y=60+10
Suma 20y a -50y.
-30y=70
Suma 60 a 10.
y=-\frac{7}{3}
Divide ambos lados entre -30.
4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2
Substitúe y por -\frac{7}{3} en 4x+10y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
4x-\frac{70}{3}=-2
Multiplica 10 por -\frac{7}{3}.
4x=\frac{64}{3}
Suma \frac{70}{3} en ambos lados da ecuación.
x=\frac{16}{3}
Divide ambos lados entre 4.
x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}
O sistema xa funciona correctamente.
Exemplos
Ecuación cuadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometría
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ecuación linear
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ecuación simultánea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciación
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integración
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Límites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}