Resolver {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+5y=15$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-5y+15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -5y+15.

$$x=-y+3$$

Substitúe x por -y+3 na outra ecuación, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

Multiplica 4 por -y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

Suma -4y a 10y.

$$6y+12=-2$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$6y=-14$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Substitúe y por -\frac{7}{3} en x=-y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

Multiplica -1 por -\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

Suma 3 a \frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Para que 5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Resta 20x+50y=-10 de 20x+20y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-50y=60+10$$

Suma 20y a -50y.

$$-30y=60+10$$

Suma 60 a 10.

$$-30y=70$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Substitúe y por -\frac{7}{3} en 4x+10y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

Multiplica 10 por -\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Suma \frac{70}{3} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{16}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$