Resolver {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+4y=-3$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-4y-3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -4y-3.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{-4y-3}{5} na outra ecuación, 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

Multiplica 6 por \frac{-4y-3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

Suma -\frac{24y}{5} a 3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

Suma \frac{18}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Substitúe y por -\frac{8}{9} en x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

Multiplica -\frac{4}{5} por -\frac{8}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

Suma -\frac{3}{5} a \frac{32}{45} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Para que 5x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

Resta 30x+15y=-10 de 30x+24y=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

Suma 30x a -30x. 30x e -30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y-15y=-18+10$$

Suma 24y a -15y.

$$9y=-18+10$$

Suma -18 a 10.

$$9y=-8$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Substitúe y por -\frac{8}{9} en 6x+3y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

Multiplica 3 por -\frac{8}{9}.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

Suma \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{2}{3}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$