Resolver {l}{5x+3y=1}{4x+7y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 1 } \\ { 4 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{23}\approx 0.043478261$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=1$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+1.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y+1}{5} na outra ecuación, 4x+7y=2.

$$4\left(-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}\right)+7y=2$$

Multiplica 4 por \frac{-3y+1}{5}.

$$-\frac{12}{5}y+\frac{4}{5}+7y=2$$

Suma -\frac{12y}{5} a 7y.

$$\frac{23}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

Resta \frac{4}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{5}y=\frac{6}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{6}{23}$$

Substitúe y por \frac{6}{23} en x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{6}{23}+\frac{1}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por \frac{6}{23} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{18}{115}+\frac{1}{5}$$

Suma \frac{1}{5} a -\frac{18}{115} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 7-3\times 4}&\frac{5}{5\times 7-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}-\frac{3}{23}\times 2\\-\frac{4}{23}+\frac{5}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

Para que 5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$4\times 5x+4\times 3y=4,5\times 4x+5\times 7y=5\times 2$$

Simplifica.

$$20x+12y=4,20x+35y=10$$

Resta 20x+35y=10 de 20x+12y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+12y-35y=4-10$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-35y=4-10$$

Suma 12y a -35y.

$$-23y=4-10$$

Suma 4 a -10.

$$-23y=-6$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=\frac{6}{23}$$

Substitúe y por \frac{6}{23} en 4x+7y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+7\times \frac{6}{23}=2$$

Multiplica 7 por \frac{6}{23}.

$$4x+\frac{42}{23}=2$$

Resta \frac{42}{23} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{4}{23}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$