Resolver {l}{5x+2y=6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+2y=6$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-2y+6$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

Substitúe x por \frac{-2y+6}{5} na outra ecuación, 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

Multiplica 2 por \frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

Suma -\frac{4y}{5} a 5y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

Resta \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{21}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{4}{3}$$

Substitúe y por \frac{4}{3} en x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

Multiplica -\frac{2}{5} por \frac{4}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

Suma \frac{6}{5} a -\frac{8}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

Simplifica.

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

Resta 10x+25y=40 de 10x+4y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-25y=12-40$$

Suma 4y a -25y.

$$-21y=12-40$$

Suma 12 a -40.

$$-21y=-28$$

Divide ambos lados entre -21.

$$y=\frac{4}{3}$$

Substitúe y por \frac{4}{3} en 2x+5y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

Multiplica 5 por \frac{4}{3}.

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

Resta \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{4}{3}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$