Resolver {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+10y=-70$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-10y-70$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -10y-70.

$$x=-2y-14$$

Substitúe x por -2y-14 na outra ecuación, -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

Multiplica -8 por -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

Suma 16y a 30y.

$$46y+112=20$$

Resta 112 en ambos lados da ecuación.

$$46y=-92$$

Divide ambos lados entre 46.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-2y-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

Multiplica -2 por -2.

$$x=4-14$$

Suma -14 a 4.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-10,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Para que 5x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Simplifica.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

Resta -40x+150y=100 de -40x-80y=560 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

Suma -40x a 40x. -40x e 40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-80y-150y=560-100$$

Suma -80y a -150y.

$$-230y=560-100$$

Suma 560 a -100.

$$-230y=460$$

Divide ambos lados entre -230.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -8x+30y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

Multiplica 30 por -2.

$$-8x-60=20$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=80$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=-2$$