Resolver {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=2$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+2$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+2.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y+2}{5} na outra ecuación, 2x-5y=2.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

Multiplica 2 por \frac{-y+2}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

Suma -\frac{2y}{5} a -5y.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

Resta \frac{4}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{27}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{2}{9}$$

Substitúe y por -\frac{2}{9} en x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -\frac{2}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

Suma \frac{2}{5} a \frac{2}{45} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{4}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

Simplifica.

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

Resta 10x-25y=10 de 10x+2y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+25y=4-10$$

Suma 2y a 25y.

$$27y=4-10$$

Suma 4 a -10.

$$27y=-6$$

Divide ambos lados entre 27.

$$y=-\frac{2}{9}$$

Substitúe y por -\frac{2}{9} en 2x-5y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

Multiplica -5 por -\frac{2}{9}.

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

Resta \frac{10}{9} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{8}{9}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$