Resolver {l}{5x+(5i)y=100}{(5i)x+(5-10i)y=60+80i}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + ( 5 i ) y = 100 } \\ { ( 5 i ) x + ( 5 - 10 i ) y = 60 + 80 i } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=22-4i$$

$$y=4+2i$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+5iy=100$$

Resta 5iy en ambos lados da ecuación.

$$5x=-5iy+100$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5iy+100\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -5iy+100.

$$x=-iy+20$$

Substitúe x por -iy+20 na outra ecuación, 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i.

$$5i\left(-iy+20\right)+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Multiplica 5i por -iy+20.

$$5y+100i+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Suma 5y a \left(5-10i\right)y.

$$\left(10-10i\right)y+100i=60+80i$$

Resta 100i en ambos lados da ecuación.

$$\left(10-10i\right)y=60-20i$$

Divide ambos lados entre 10-10i.

$$y=4+2i$$

Substitúe y por 4+2i en x=-iy+20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-i\left(4+2i\right)+20$$

Multiplica -i por 4+2i.

$$x=2-4i+20$$

Suma 20 a 2-4i.

$$x=22-4i$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5-10i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\\-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&\frac{5}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\\\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\\\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22-4i\\4+2i\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Para que 5x e 5ix sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5i e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5i\times 5x+5i\times \left(5i\right)y=5i\times 100,5\times \left(5i\right)x+5\left(5-10i\right)y=5\left(60+80i\right)$$

Simplifica.

$$25ix-25y=500i,25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i$$

Resta 25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i de 25ix-25y=500i mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$25ix-25ix-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Suma 25ix a -25ix. 25ix e -25ix anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Suma -25y a \left(-25+50i\right)y.

$$\left(-50+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Suma 500i a -300-400i.

$$\left(-50+50i\right)y=-300+100i$$

Divide ambos lados entre -50+50i.

$$y=4+2i$$

Substitúe y por 4+2i en 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5ix+\left(5-10i\right)\left(4+2i\right)=60+80i$$

Multiplica 5-10i por 4+2i.

$$5ix+\left(40-30i\right)=60+80i$$

Resta 40-30i en ambos lados da ecuación.

$$5ix=20+110i$$

Divide ambos lados entre 5i.

$$x=22-4i$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=22-4i,y=4+2i$$