Resolver {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

Resolver k, b

$$k=2$$

$$b=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3k+b=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$-4k+b=-9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k mediante o illamento de k no lado esquerdo do signo igual.

$$3k+b=5$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$3k=-b+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -b+5.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

Substitúe k por \frac{-b+5}{3} na outra ecuación, -4k+b=-9.

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

Multiplica -4 por \frac{-b+5}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

Suma \frac{4b}{3} a b.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

Suma \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-1$$

Substitúe b por -1 en k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -1.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a \frac{1}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=2,b=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3k+b=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$-4k+b=-9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e b.

$$k=2,b=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3k+b=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$-4k+b=-9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Resta -4k+b=-9 de 3k+b=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3k+4k=5+9$$

Suma 3k a 4k.

$$7k=5+9$$

Suma 5 a 9.

$$7k=14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$k=2$$

Substitúe k por 2 en -4k+b=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$-4\times 2+b=-9$$

Multiplica -4 por 2.

$$-8+b=-9$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$b=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=2,b=-1$$