Resolver {l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=0.1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$40x+720y=112$$

Resta 720y en ambos lados da ecuación.

$$40x=-720y+112$$

Divide ambos lados entre 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

Multiplica \frac{1}{40} por -720y+112.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

Substitúe x por -18y+\frac{14}{5} na outra ecuación, 120x+2205y=340.5.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

Multiplica 120 por -18y+\frac{14}{5}.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

Suma -2160y a 2205y.

$$45y+336=340.5$$

Resta 336 en ambos lados da ecuación.

$$45y=4.5$$

Divide ambos lados entre 45.

$$y=0.1$$

Substitúe y por 0.1 en x=-18y+\frac{14}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

Multiplica -18 por 0.1.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

Suma \frac{14}{5} a -1.8 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=0.1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Para que 40x e 120x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 120 e todos os termos a cada lado da segunda por 40.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

Simplifica.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

Resta 4800x+88200y=13620 de 4800x+86400y=13440 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

Suma 4800x a -4800x. 4800x e -4800x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

Suma 86400y a -88200y.

$$-1800y=13440-13620$$

Suma 13440 a -13620.

$$-1800y=-180$$

Divide ambos lados entre -1800.

$$y=\frac{1}{10}$$

Substitúe y por \frac{1}{10} en 120x+2205y=340.5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

Multiplica 2205 por \frac{1}{10}.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

Resta \frac{441}{2} en ambos lados da ecuación.

$$120x=120$$

Divide ambos lados entre 120.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$