Resolver {l}{4x-7y=-4}{7x+5y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = - 4 } \\ { 7 x + 5 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-7y=-4$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$4x=7y-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 7y-4.

$$x=\frac{7}{4}y-1$$

Substitúe x por \frac{7y}{4}-1 na outra ecuación, 7x+5y=-7.

$$7\left(\frac{7}{4}y-1\right)+5y=-7$$

Multiplica 7 por \frac{7y}{4}-1.

$$\frac{49}{4}y-7+5y=-7$$

Suma \frac{49y}{4} a 5y.

$$\frac{69}{4}y-7=-7$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{69}{4}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{69}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{7}{4}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}&\frac{7}{69}\\-\frac{7}{69}&\frac{4}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}\left(-4\right)+\frac{7}{69}\left(-7\right)\\-\frac{7}{69}\left(-4\right)+\frac{4}{69}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Para que 4x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$7\times 4x+7\left(-7\right)y=7\left(-4\right),4\times 7x+4\times 5y=4\left(-7\right)$$

Simplifica.

$$28x-49y=-28,28x+20y=-28$$

Resta 28x+20y=-28 de 28x-49y=-28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x-49y-20y=-28+28$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-49y-20y=-28+28$$

Suma -49y a -20y.

$$-69y=-28+28$$

Suma -28 a 28.

$$-69y=0$$

Divide ambos lados entre -69.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 7x+5y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x=-7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=0$$