Resolver {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-5y=9$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=5y+9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 5y+9.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

Substitúe x por \frac{5y+9}{4} na outra ecuación, 7x-4y=15.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

Multiplica 7 por \frac{5y+9}{4}.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

Suma \frac{35y}{4} a -4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

Resta \frac{63}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Substitúe y por -\frac{3}{19} en x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

Multiplica \frac{5}{4} por -\frac{3}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

Suma \frac{9}{4} a -\frac{15}{76} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{39}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Para que 4x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Simplifica.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

Resta 28x-16y=60 de 28x-35y=63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-35y+16y=63-60$$

Suma -35y a 16y.

$$-19y=63-60$$

Suma 63 a -60.

$$-19y=3$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Substitúe y por -\frac{3}{19} en 7x-4y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

Multiplica -4 por -\frac{3}{19}.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

Resta \frac{12}{19} en ambos lados da ecuación.

$$7x=\frac{273}{19}$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{39}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$