Resolver {l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-5y=7$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=5y+7$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 5y+7.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Substitúe x por \frac{5y+7}{4} na outra ecuación, 2x+3y=1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

Multiplica 2 por \frac{5y+7}{4}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

Suma \frac{5y}{2} a 3y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

Resta \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Substitúe y por -\frac{5}{11} en x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

Multiplica \frac{5}{4} por -\frac{5}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

Suma \frac{7}{4} a -\frac{25}{44} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{13}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

Simplifica.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

Resta 8x+12y=4 de 8x-10y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y-12y=14-4$$

Suma -10y a -12y.

$$-22y=14-4$$

Suma 14 a -4.

$$-22y=10$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Substitúe y por -\frac{5}{11} en 2x+3y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

Multiplica 3 por -\frac{5}{11}.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

Suma \frac{15}{11} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{26}{11}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{13}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$