Resolver {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-3y=21$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=3y+21$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

Substitúe x por \frac{21+3y}{4} na outra ecuación, x+y=0.

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

Suma \frac{3y}{4} a y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

Resta \frac{21}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

Multiplica \frac{3}{4} por -3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

Suma \frac{21}{4} a -\frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

Resta 4x+4y=0 de 4x-3y=21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-4y=21$$

Suma -3y a -4y.

$$-7y=21$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3=0$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-3$$