Resolver {l}{4x-3y=1}{5x+2y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

$$y = \frac{47}{23} = 2\frac{1}{23} \approx 2.043478261$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-3y=1,5x+2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-3y=1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=3y+1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{3y+1}{4} na outra ecuación, 5x+2y=13.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2y=13$$

Multiplica 5 por \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+2y=13$$

Suma \frac{15y}{4} a 2y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{5}{4}=13$$

Resta \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{4}y=\frac{47}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{47}{23}$$

Substitúe y por \frac{47}{23} en x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{47}{23}+\frac{1}{4}$$

Multiplica \frac{3}{4} por \frac{47}{23} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{141}{92}+\frac{1}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a \frac{141}{92} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{41}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{41}{23},y=\frac{47}{23}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-3y=1,5x+2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}+\frac{3}{23}\times 13\\-\frac{5}{23}+\frac{4}{23}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{23}\\\frac{47}{23}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{41}{23},y=\frac{47}{23}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-3y=1,5x+2y=13$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 2y=4\times 13$$

Simplifica.

$$20x-15y=5,20x+8y=52$$

Resta 20x+8y=52 de 20x-15y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-15y-8y=5-52$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-8y=5-52$$

Suma -15y a -8y.

$$-23y=5-52$$

Suma 5 a -52.

$$-23y=-47$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=\frac{47}{23}$$

Substitúe y por \frac{47}{23} en 5x+2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+2\times \frac{47}{23}=13$$

Multiplica 2 por \frac{47}{23}.

$$5x+\frac{94}{23}=13$$

Resta \frac{94}{23} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{205}{23}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{41}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{41}{23},y=\frac{47}{23}$$