Resolver {l}{4x=y-0.5}{5(x-0.5)=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x = y - 0.5 } \\ { 5 ( x - 0.5 ) = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=12.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$4x-y=-0.5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x-0.5.

$$5x-2.5=y$$

Resta y en ambos lados.

$$5x-2.5-y=0$$

Engadir 2.5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-y=2.5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=-0.5,5x-y=2.5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=-0.5$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y-0.5$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-0.5\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y-0.5.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}$$

Substitúe x por \frac{y}{4}-\frac{1}{8} na outra ecuación, 5x-y=2.5.

$$5\left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}\right)-y=2.5$$

Multiplica 5 por \frac{y}{4}-\frac{1}{8}.

$$\frac{5}{4}y-\frac{5}{8}-y=2.5$$

Suma \frac{5y}{4} a -y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{8}=2.5$$

Suma \frac{5}{8} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{4}y=\frac{25}{8}$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$y=\frac{25}{2}$$

Substitúe y por \frac{25}{2} en x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{25}{2}-\frac{1}{8}$$

Multiplica \frac{1}{4} por \frac{25}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{25-1}{8}$$

Suma -\frac{1}{8} a \frac{25}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=\frac{25}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$4x-y=-0.5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x-0.5.

$$5x-2.5=y$$

Resta y en ambos lados.

$$5x-2.5-y=0$$

Engadir 2.5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-y=2.5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=-0.5,5x-y=2.5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-0.5\right)+2.5\\-5\left(-0.5\right)+4\times 2.5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12.5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=12.5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$4x-y=-0.5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x-0.5.

$$5x-2.5=y$$

Resta y en ambos lados.

$$5x-2.5-y=0$$

Engadir 2.5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-y=2.5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=-0.5,5x-y=2.5$$

Resta 5x-y=2.5 de 4x-y=-0.5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-5x-y+y=\frac{-1-5}{2}$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-5x=\frac{-1-5}{2}$$

Suma 4x a -5x.

$$-x=\frac{-1-5}{2}$$

Suma -0.5 a -2.5 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-x=-3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en 5x-y=2.5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5\times 3-y=2.5$$

Multiplica 5 por 3.

$$15-y=2.5$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-12.5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=12.5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=12.5$$