Resolver {l}{4x+y=9}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 9 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-y+9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -y+9.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}$$

Substitúe x por \frac{-y+9}{4} na outra ecuación, 2x+y=7.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}\right)+y=7$$

Multiplica 2 por \frac{-y+9}{4}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}+y=7$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{9}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{4} por 5.

$$x=\frac{-5+9}{4}$$

Suma \frac{9}{4} a -\frac{5}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 7\\-9+2\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Resta 2x+y=7 de 4x+y=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-2x+y-y=9-7$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-2x=9-7$$

Suma 4x a -2x.

$$2x=9-7$$

Suma 9 a -7.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en 2x+y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2+y=7$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=5$$