\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 2 } \end{array} \right.
Resolver x, y
x=\frac{1}{2}=0.5
y=3
Gráfico
Compartir
Copiado a portapapeis
4x+y=5,2x-y=-2
Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.
4x+y=5
Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.
4x=-y+5
Resta y en ambos lados da ecuación.
x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)
Divide ambos lados entre 4.
x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}
Multiplica \frac{1}{4} por -y+5.
2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)-y=-2
Substitúe x por \frac{-y+5}{4} na outra ecuación, 2x-y=-2.
-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=-2
Multiplica 2 por \frac{-y+5}{4}.
-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=-2
Suma -\frac{y}{2} a -y.
-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}
Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.
y=3
Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.
x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}
Substitúe y por 3 en x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
x=\frac{-3+5}{4}
Multiplica -\frac{1}{4} por 3.
x=\frac{1}{2}
Suma \frac{5}{4} a -\frac{3}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.
x=\frac{1}{2},y=3
O sistema xa funciona correctamente.
4x+y=5,2x-y=-2
Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.
\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
Escribe as ecuacións en forma matricial.
inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
x=\frac{1}{2},y=3
Extrae os elementos da matriz x e y.
4x+y=5,2x-y=-2
Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.
2\times 4x+2y=2\times 5,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-2\right)
Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.
8x+2y=10,8x-4y=-8
Simplifica.
8x-8x+2y+4y=10+8
Resta 8x-4y=-8 de 8x+2y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.
2y+4y=10+8
Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.
6y=10+8
Suma 2y a 4y.
6y=18
Suma 10 a 8.
y=3
Divide ambos lados entre 6.
2x-3=-2
Substitúe y por 3 en 2x-y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
2x=1
Suma 3 en ambos lados da ecuación.
x=\frac{1}{2}
Divide ambos lados entre 2.
x=\frac{1}{2},y=3
O sistema xa funciona correctamente.
Exemplos
Ecuación cuadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometría
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ecuación linear
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ecuación simultánea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciación
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integración
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Límites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}