Resolver {l}{4x+y=3}{3x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+y=3$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-y+3$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -y+3.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

Substitúe x por \frac{-y+3}{4} na outra ecuación, 3x-3y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

Multiplica 3 por \frac{-y+3}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

Suma -\frac{3y}{4} a -3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

Resta \frac{9}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{15}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{13}{15}$$

Substitúe y por \frac{13}{15} en x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{4} por \frac{13}{15} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

Suma \frac{3}{4} a -\frac{13}{60} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{8}{15}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

Resta 12x-12y=-4 de 12x+3y=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+12y=9+4$$

Suma 3y a 12y.

$$15y=9+4$$

Suma 9 a 4.

$$15y=13$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=\frac{13}{15}$$

Substitúe y por \frac{13}{15} en 3x-3y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

Multiplica -3 por \frac{13}{15}.

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

Suma \frac{13}{5} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{8}{5}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{8}{15}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$