Resolver {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+y=-5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-y-5$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -y-5.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{-y-5}{4} na outra ecuación, 3x-2y=-14.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

Multiplica 3 por \frac{-y-5}{4}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

Suma -\frac{3y}{4} a -2y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

Suma \frac{15}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{41}{11}$$

Substitúe y por \frac{41}{11} en x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{4} por \frac{41}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

Suma -\frac{5}{4} a -\frac{41}{44} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{24}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

Simplifica.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

Resta 12x-8y=-56 de 12x+3y=-15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+8y=-15+56$$

Suma 3y a 8y.

$$11y=-15+56$$

Suma -15 a 56.

$$11y=41$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=\frac{41}{11}$$

Substitúe y por \frac{41}{11} en 3x-2y=-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

Multiplica -2 por \frac{41}{11}.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

Suma \frac{82}{11} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{24}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$