Resolver {l}{4x+3y=2014}{x+2y=1176}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 2014 } \\ { x + 2 y = 1176 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=100$$

$$y=538$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=2014,x+2y=1176$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=2014$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+2014$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+2014\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+2014.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1007}{2}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{4}+\frac{1007}{2} na outra ecuación, x+2y=1176.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{1007}{2}+2y=1176$$

Suma -\frac{3y}{4} a 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1007}{2}=1176$$

Resta \frac{1007}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{4}y=\frac{1345}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=538$$

Substitúe y por 538 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{1007}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times 538+\frac{1007}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 538.

$$x=\frac{-807+1007}{2}$$

Suma \frac{1007}{2} a -\frac{807}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=100,y=538$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=2014,x+2y=1176$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{3}{4\times 2-3}\\-\frac{1}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2014\\1176\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 2014-\frac{3}{5}\times 1176\\-\frac{1}{5}\times 2014+\frac{4}{5}\times 1176\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\538\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=100,y=538$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=2014,x+2y=1176$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+3y=2014,4x+4\times 2y=4\times 1176$$

Simplifica.

$$4x+3y=2014,4x+8y=4704$$

Resta 4x+8y=4704 de 4x+3y=2014 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+3y-8y=2014-4704$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-8y=2014-4704$$

Suma 3y a -8y.

$$-5y=2014-4704$$

Suma 2014 a -4704.

$$-5y=-2690$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=538$$

Substitúe y por 538 en x+2y=1176. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times 538=1176$$

Multiplica 2 por 538.

$$x+1076=1176$$

Resta 1076 en ambos lados da ecuación.

$$x=100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=100,y=538$$