Resolver {l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y+14=0$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$4x+3y=-14$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y-14$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y-14.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} na outra ecuación, 2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

Multiplica 2 por -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

Suma -\frac{3y}{2} a 5y.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

Suma -7 a 16.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Substitúe y por -\frac{18}{7} en x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -\frac{18}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

Suma -\frac{7}{2} a \frac{27}{14} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

Simplifica.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

Resta 8x+20y+64=0 de 8x+6y+28=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-20y+28-64=0$$

Suma 6y a -20y.

$$-14y+28-64=0$$

Suma 28 a -64.

$$-14y-36=0$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$-14y=36$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Substitúe y por -\frac{18}{7} en 2x+5y+16=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

Multiplica 5 por -\frac{18}{7}.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

Suma -\frac{90}{7} a 16.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

Resta \frac{22}{7} en ambos lados da ecuación.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{11}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$