Resolver {l}{4x+2y=6}{5y+x=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 5 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=6,x+5y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=6$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+6$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+3}{2} na outra ecuación, x+5y=6.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+5y=6$$

Suma -\frac{y}{2} a 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=6$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{2}y=\frac{9}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{-1+3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a -\frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=6,x+5y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 6-\frac{1}{9}\times 6\\-\frac{1}{18}\times 6+\frac{2}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=6,x+5y=6$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+2y=6,4x+4\times 5y=4\times 6$$

Simplifica.

$$4x+2y=6,4x+20y=24$$

Resta 4x+20y=24 de 4x+2y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+2y-20y=6-24$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-20y=6-24$$

Suma 2y a -20y.

$$-18y=6-24$$

Suma 6 a -24.

$$-18y=-18$$

Divide ambos lados entre -18.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x+5y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5=6$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$