Resolver {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=25,2$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+25,2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+25,2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} na outra ecuación, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Suma -\frac{y}{2} a 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Resta \frac{63}{10} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{257}{45}$$

Substitúe y por \frac{257}{45} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{257}{45} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Suma \frac{63}{10} a -\frac{257}{90} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{31}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

Simplifica.

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

Resta 4x+20y=128 de 4x+2y=25,2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-20y=25,2-128$$

Suma 2y a -20y.

$$-18y=25,2-128$$

Suma 25,2 a -128.

$$-18y=-102,8$$

Divide ambos lados entre -18.

$$y=\frac{257}{45}$$

Substitúe y por \frac{257}{45} en x+5y=32. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Multiplica 5 por \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Resta \frac{257}{9} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{31}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$