Resolver {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$4m+9n=-35$$

Resta 9n en ambos lados da ecuación.

$$4m=-9n-35$$

Divide ambos lados entre 4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Substitúe m por \frac{-9n-35}{4} na outra ecuación, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Multiplica 3 por \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Suma -\frac{27n}{4} a -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Suma \frac{105}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{59}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=-3$$

Substitúe n por -3 en m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Multiplica -\frac{9}{4} por -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Suma -\frac{35}{4} a \frac{27}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=-2,n=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=-2,n=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Para que 4m e 3m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Simplifica.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Resta 12m-32n=72 de 12m+27n=-105 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Suma 12m a -12m. 12m e -12m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$27n+32n=-105-72$$

Suma 27n a 32n.

$$59n=-105-72$$

Suma -105 a -72.

$$59n=-177$$

Divide ambos lados entre 59.

$$n=-3$$

Substitúe n por -3 en 3m-8n=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Multiplica -8 por -3.

$$3m+24=18$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$3m=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$m=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=-2,n=-3$$