Resolver {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Combina 4x e -3x para obter x.

$$x+4y+3y=10$$

Combina 4y e 3y para obter 7y.

$$x+7y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+7y=10$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$x=-7y+10$$

Substitúe x por -7y+10 na outra ecuación, -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

Multiplica -1 por -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

Suma 7y a 5y.

$$12y-10=2$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$12y=12$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-7y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-7+10$$

Suma 10 a -7.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Combina 4x e -3x para obter x.

$$x+4y+3y=10$$

Combina 4y e 3y para obter 7y.

$$x+7y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Combina 4x e -3x para obter x.

$$x+4y+3y=10$$

Combina 4y e 3y para obter 7y.

$$x+7y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

Resta -x+5y=2 de -x-7y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-7y-5y=-10-2$$

Suma -7y a -5y.

$$-12y=-10-2$$

Suma -10 a -2.

$$-12y=-12$$

Divide ambos lados entre -12.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -x+5y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+5=2$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$