Resolver {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Combina -4y e -14y para obter -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-18y=-36$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$-2x-7y=-18+4$$

Suma -18 e 4 para obter -14.

$$-2x-7y=-14$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-18y=-36$$

Suma 18y en ambos lados da ecuación.

$$x=18y-36$$

Substitúe x por -36+18y na outra ecuación, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

Multiplica -2 por -36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

Suma -36y a -7y.

$$-43y+72=-14$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$-43y=-86$$

Divide ambos lados entre -43.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=18y-36. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=18\times 2-36$$

Multiplica 18 por 2.

$$x=36-36$$

Suma -36 a 36.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Combina -4y e -14y para obter -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-18y=-36$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$-2x-7y=-18+4$$

Suma -18 e 4 para obter -14.

$$-2x-7y=-14$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Combina -4y e -14y para obter -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-18y=-36$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$-2x-7y=-18+4$$

Suma -18 e 4 para obter -14.

$$-2x-7y=-14$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

Simplifica.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

Resta -2x-7y=-14 de -2x+36y=72 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36y+7y=72+14$$

Suma 36y a 7y.

$$43y=72+14$$

Suma 72 a 14.

$$43y=86$$

Divide ambos lados entre 43.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -2x-7y=-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-7\times 2=-14$$

Multiplica -7 por 2.

$$-2x-14=-14$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=0$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$