Resolver {l}{4*4k+b=0}{3*6k+b=0.2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 \cdot 4 k + b = 0 } \\ { 3 \cdot 6 k + b = 0.2 } \end{array} \right.$$

Resolver k, b

$$k=0.1$$

$$b=-1.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k mediante o illamento de k no lado esquerdo do signo igual.

$$16k+b=0$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$16k=-b$$

Divide ambos lados entre 16.

$$k=\frac{1}{16}\left(-1\right)b$$

Multiplica \frac{1}{16} por -b.

$$k=-\frac{1}{16}b$$

Substitúe k por -\frac{b}{16} na outra ecuación, 18k+b=0.2.

$$18\left(-\frac{1}{16}\right)b+b=0.2$$

Multiplica 18 por -\frac{b}{16}.

$$-\frac{9}{8}b+b=0.2$$

Suma -\frac{9b}{8} a b.

$$-\frac{1}{8}b=0.2$$

Multiplica ambos lados por -8.

$$b=-\frac{8}{5}$$

Substitúe b por -\frac{8}{5} en k=-\frac{1}{16}b. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=-\frac{1}{16}\left(-\frac{8}{5}\right)$$

Multiplica -\frac{1}{16} por -\frac{8}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=\frac{1}{10}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=\frac{1}{10},b=-\frac{8}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16-18}&-\frac{1}{16-18}\\-\frac{18}{16-18}&\frac{16}{16-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 0.2\\-8\times 0.2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\\-1.6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e b.

$$k=\frac{1}{10},b=-1.6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

Resta 18k+b=0.2 de 16k+b=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$16k-18k+b-b=-0.2$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16k-18k=-0.2$$

Suma 16k a -18k.

$$-2k=-0.2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Substitúe k por \frac{1}{10} en 18k+b=0.2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$18\times \frac{1}{10}+b=0.2$$

Multiplica 18 por \frac{1}{10}.

$$\frac{9}{5}+b=0.2$$

Resta \frac{9}{5} en ambos lados da ecuación.

$$b=-\frac{8}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=\frac{1}{10},b=-\frac{8}{5}$$