Resolver {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$361x+463y=-102$$

Resta 463y en ambos lados da ecuación.

$$361x=-463y-102$$

Divide ambos lados entre 361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

Multiplica \frac{1}{361} por -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Substitúe x por \frac{-463y-102}{361} na outra ecuación, 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

Multiplica 463 por \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Suma -\frac{214369y}{361} a 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Suma \frac{47226}{361} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{84048}{361}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

Multiplica -\frac{463}{361} por -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Suma -\frac{102}{361} a \frac{463}{361} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Para que 361x e 463x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 463 e todos os termos a cada lado da segunda por 361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Simplifica.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Resta 167143x+130321y=36822 de 167143x+214369y=-47226 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Suma 167143x a -167143x. 167143x e -167143x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Suma 214369y a -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

Suma -47226 a -36822.

$$84048y=-84048$$

Divide ambos lados entre 84048.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 463x+361y=102. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

Multiplica 361 por -1.

$$463x-361=102$$

Suma 361 en ambos lados da ecuación.

$$463x=463$$

Divide ambos lados entre 463.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$