Resolver {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$30x+15y=675$$

Resta 15y en ambos lados da ecuación.

$$30x=-15y+675$$

Divide ambos lados entre 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Multiplica \frac{1}{30} por -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+45}{2} na outra ecuación, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Multiplica 42 por \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Suma -21y a 20y.

$$-y+945=940$$

Resta 945 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Suma \frac{45}{2} a -\frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=20,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=20,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Para que 30x e 42x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 42 e todos os termos a cada lado da segunda por 30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Simplifica.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Resta 1260x+600y=28200 de 1260x+630y=28350 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Suma 1260x a -1260x. 1260x e -1260x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$630y-600y=28350-28200$$

Suma 630y a -600y.

$$30y=28350-28200$$

Suma 28350 a -28200.

$$30y=150$$

Divide ambos lados entre 30.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 42x+20y=940. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$42x+20\times 5=940$$

Multiplica 20 por 5.

$$42x+100=940$$

Resta 100 en ambos lados da ecuación.

$$42x=840$$

Divide ambos lados entre 42.

$$x=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=20,y=5$$