Resolver {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$3y-7x=-9$$

Suma 7x en ambos lados da ecuación.

$$3y=7x-9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Substitúe y por \frac{7x}{3}-3 na outra ecuación, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

Multiplica 2 por \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

Suma \frac{14x}{3} a 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{29}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en y=\frac{7}{3}x-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

Multiplica \frac{7}{3} por 3.

$$y=7-3$$

Suma -3 a 7.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=4,x=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Para que 3y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Simplifica.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Resta 6y+15x=69 de 6y-14x=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

Suma 6y a -6y. 6y e -6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14x-15x=-18-69$$

Suma -14x a -15x.

$$-29x=-18-69$$

Suma -18 a -69.

$$-29x=-87$$

Divide ambos lados entre -29.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en 2y+5x=23. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+5\times 3=23$$

Multiplica 5 por 3.

$$2y+15=23$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$2y=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=3$$