Resolver {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$3y-4x=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$3y-4x=8$$

Suma 4x en ambos lados da ecuación.

$$3y=4x+8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Substitúe y por \frac{8+4x}{3} na outra ecuación, 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

Multiplica 2 por \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

Suma \frac{8x}{3} a -8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

Resta \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{16}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Substitúe x por -\frac{5}{16} en y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

Multiplica \frac{4}{3} por -\frac{5}{16} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Suma \frac{8}{3} a -\frac{5}{12} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{9}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$3y-4x=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$3y-4x=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Para que 3y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Simplifica.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

Resta 6y-24x=21 de 6y-8x=16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

Suma 6y a -6y. 6y e -6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8x+24x=16-21$$

Suma -8x a 24x.

$$16x=16-21$$

Suma 16 a -21.

$$16x=-5$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Substitúe x por -\frac{5}{16} en 2y-8x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

Multiplica -8 por -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$2y=\frac{9}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{9}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$