Resolver {l}{3x-y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=7,2x+3y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=7$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+7.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}$$

Substitúe x por \frac{7+y}{3} na outra ecuación, 2x+3y=1.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}\right)+3y=1$$

Multiplica 2 por \frac{7+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}+3y=1$$

Suma \frac{2y}{3} a 3y.

$$\frac{11}{3}y+\frac{14}{3}=1$$

Resta \frac{14}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{7}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por -1.

$$x=\frac{-1+7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -\frac{1}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=7,2x+3y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 7+\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=7,2x+3y=1$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 7,3\times 2x+3\times 3y=3$$

Simplifica.

$$6x-2y=14,6x+9y=3$$

Resta 6x+9y=3 de 6x-2y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-2y-9y=14-3$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-9y=14-3$$

Suma -2y a -9y.

$$-11y=14-3$$

Suma 14 a -3.

$$-11y=11$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 2x+3y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-1\right)=1$$

Multiplica 3 por -1.

$$2x-3=1$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$2x=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$