Resolver {l}{3x-y=6}{5x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 5 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=6$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+2 na outra ecuación, 5x+y=10.

$$5\left(\frac{1}{3}y+2\right)+y=10$$

Multiplica 5 por \frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y+10+y=10$$

Suma \frac{5y}{3} a y.

$$\frac{8}{3}y+10=10$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{3}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{1}{3}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 6,3\times 5x+3y=3\times 10$$

Simplifica.

$$15x-5y=30,15x+3y=30$$

Resta 15x+3y=30 de 15x-5y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-5y-3y=30-30$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y-3y=30-30$$

Suma -5y a -3y.

$$-8y=30-30$$

Suma 30 a -30.

$$-8y=0$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 5x+y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$